Pathy Kyungu
Site officiel du Professeur Pathy Kyungu
Mathématiques · Vulgarisation · Recherches
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Pathy Kyungu Ngoïe est un mathématicien et chercheur indépendant originaire de la République Démocratique du Congo (RDC). Il est principalement connu pour ses travaux sur la transformée de Laplace inverse et la transformée de Mellin inverse, à partir desquelles il a formulé la désormais célèbre formule de Kyungu, publiée officiellement sur Zenodo.
Passionné de sciences depuis son enfance, il amorce ses premières recherches dès l’âge de 16 ans. En 1999, à seulement 19 ans, le Vice-Gouverneur du Katanga, mentionne officiellement le dépôt d’un résumé de ses découvertes.
En 2001, il fonde l'Analyse Sommatielle en mettant en évidence un nouvel opérateur mathématique fondamental, le sommatiel, donnant naissance à une transformée associée : l’hypersommatiel. En 2010, il élabore une approche originale de l’hypothèse de Riemann. La première version publique de cette proposition a été diffusée le 2 octobre 2025, issue d’un document de recherche rédigé à l’origine sous Word 2003 et conservé dans ses archives personnelles.
Après une tentative de création d’une fondation collaborative, il poursuit désormais ses travaux en toute indépendance, concentrant ses efforts sur le développement et les applications analytiques de la formule de Kyungu, qu’il considère comme l’un des outils les plus puissants pour la théorie des transformées inverses.
Ses publications officielles sont disponibles sur Zenodo, et il dispose également de comptes personnels sur arXiv et HAL pour de futures soumissions.
En parallèle, Pathy Kyungu vulgarise les mathématiques et la physique à travers des vidéos pédagogiques qu’il partage sur TikTok et Facebook, sous le nom Le Professeur des Maths.
“Rien n’est fondamental en soi. Une connaissance ne devient fondamentale que pour celui qui choisit de la considérer comme telle.”
— Professeur Pathy Kyungu
Pour une fonction auxiliaire \(\varphi(x) = F(1/x)\) admettant un développement de la forme \(\sum c_n x^{\alpha_n}\), la transformée inverse s'écrit au sens des distributions :
\[ \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \underbrace{\sum_{\alpha_n > 0} \frac{c_n}{\Gamma(\alpha_n)} t^{\alpha_n - 1}}_{\text{Partie régulière}} + \underbrace{\sum_{\alpha_j = -m \le 0} c_j \delta^{(m)}(t)}_{\text{Termes singuliers}} \]
Lorsque \(\varphi(x)\) est analytique en 0, la formule se spécialise sous la forme série suivante :
\[ \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \varphi(0)\,\delta(t) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n!)^2} \, \varphi^{(n)}(0) \, t^{n-1} \]
\[ \text{avec } \varphi(x) = F\Big(\frac{1}{x}\Big) \]
Cet exemple illustre la capacité de la formule à traiter les singularités essentielles à l'infini.
1. Fonction auxiliaire : \[ \varphi(x) = F(1/x) = e^{ax} \]
2. Développement en série : En \( x = 0 \), nous avons \( \varphi(0) = 1 \) et \( \varphi^{(n)}(0) = a^n \).
3. Application de la Formule de Kyungu : \[ \mathcal{L}^{-1}[e^{a/p}](t) = \delta(t) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cdot a^n}{(n!)^2} \, t^{n-1} \]
4. Forme fermée : En simplifiant les factorielles (\( n/n! = 1/(n-1)! \)), on identifie la fonction de Bessel modifiée de première espèce \( I_1 \) : \[ f(t) = \delta(t) + \sqrt{\frac{a}{t}} \, I_1(2\sqrt{at}) \]
La même formule peut être exprimée sous forme intégrale via le théorème des résidus de Cauchy. La série est alors récupérée en développant l'exponentielle \(e^{t/z}\) :
\[ \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\Gamma} \frac{\varphi(z)}{z^2} \, e^{t/z} \, dz, \quad \varphi(z) = F\Big(\frac{1}{z}\Big) \]
Ainsi, la forme série est pratique pour des calculs explicites ou numériques, tandis que la forme intégrale est élégante et adaptée aux méthodes analytiques complexes.
La transformée de Mellin inverse se relie à la transformée de Laplace inverse par le changement de variable \(t = -\ln x\) :
\[ \mathcal{M}^{-1}[F](x) = \mathcal{L}^{-1}[F](-\ln x) \]
Développement en série logarithmique autour de \(x = 1\) :
\[ \mathcal{M}^{-1}[F](x) = \varphi(0) \, \delta(1 - x) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi^{(n)}(0)}{(n!)^2} \, n \, (-\ln x)^{n-1} \]
\[ \varphi(x) = F\Big(\frac{1}{x}\Big) \]
Version intégrale via un contour autour de \(z = 0\) :
\[ \mathcal{M}^{-1}[F](x) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\Gamma} \frac{\varphi(z)}{z^2} \, x^{-1/z} \, dz \]
\[ \varphi(z) = F\Big(\frac{1}{z}\Big) \]
La forme série est pratique pour le calcul explicite, tandis que la forme intégrale est élégante et adaptée aux méthodes analytiques complexes.
Le calcul sommatiel étend analytiquement la somme discrète classique :
\[ S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) \]
Il prolonge cette somme aux valeurs réelles ou complexes de \( n = x \), fournissant une version continue et analytique de la somme discrète. On note alors :
\[ S(x) = [f]_x \]
Le sommatiel admet une représentation intégrale élégante reliant la somme et la transformée de Laplace :
\[ S(x) = -\; \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x t} - 1}{e^{t} - 1} \, \mathcal{L}^{-1}[f](t) \, dt \]
où \( \varphi(x) = f(1/x) \)
Dans le cas limite \( x \to \infty \), pour une fonction \( f \) à décroissance rapide, le sommatiel se réduit naturellement à la somme infinie :
\[ [f]_x \xrightarrow[x \to \infty]{} \sum_{k=1}^{\infty} f(k) = \int_{0}^{\infty} \frac{\mathcal{L}^{-1}[f](t)}{e^t - 1} \, dt \]
L’hypersommatiel est défini comme la limite paramétrique du sommatiel :
\[ f,(s) = \lim_{x \to 0} \frac{[f(sx)]_x}{x} \]
Sa forme intégrale s’écrit :
\[ f,(s) = s \int_{0}^{\infty} \frac{t \, \mathcal{L}^{-1}[f](t)}{e^{s t} - 1} \, dt \]
Ces deux formules établissent un pont entre les séries discrètes, les intégrales continues et les transformations de Laplace, offrant une base analytique pour la généralisation de la formule d’Euler–Maclaurin et l’introduction du calcul hypersommatiel.
Issue du calcul sommatiel développé par Pathy Kyungu, cette expression étend la formule classique d’Euler–Maclaurin à un paramètre décalé \(c\), reliant la somme discrète à son équivalent intégral et aux dérivées successives de la fonction \(f\) :
\[ \sum_{k=a+c}^{b+c-1} f(k) = \int_{a}^{b} f(t)\,dt + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_n(c)}{n!} \, \big( f^{(n-1)}(b) - f^{(n-1)}(a) \big) \]
Cette formule de Kyungu–Sommatiel constitue une extension fondamentale du calcul sommatoire, unifiant les notions de série, d’intégrale et de dérivée fractionnaire dans une même structure analytique.
Email : leprofesseurkyungu@gmail.com
