Nous démontrons ici, sans faire appel aux distributions ni à des procédés de régularisation, que :
Ce résultat n’est pas une reprise d’un fait connu, mais bien une conséquence directe et nouvelle de l’application rigoureuse du théorème différentiel appliqué à la transformée gamma de Kyungu.
Soit \(\varphi\) une fonction localement intégrable dont la transformée gamma est définie par :
\[ \varphi^*(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\varphi^{(n)}(0)}{(n!)^2} \cdot t^n \]
Alors, on a l’identité fondamentale :
\[ (x \varphi’)^*(t) = t \cdot \left( \varphi^* \right)’(t) \]
Bien que la fonction \(\ln x\) ne soit pas développable en série entière autour de 0, sa transformée gamma \((\ln x)^*\) existe au sens analytique. En posant :
\[ F(p) = \ln\left(\frac{1}{p}\right) = -\ln p \]
on a \(\varphi(x) = \ln x = F(1/x)\), et selon la formule :
\[ \frac{d}{dt} \left[ \varphi^*(t) \right] = \mathcal{L}^{-1}F(p) \]
Par le théorème différentiel :
\[ (x \cdot \varphi’)^*(t) = t \cdot \left( \varphi^* \right)’(t) \]
Dans notre cas :
\[ \varphi(x) = \ln x \quad \Rightarrow \quad \varphi’(x) = \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad x \cdot \varphi’(x) = 1 \]
D’où :
\[ 1^{*}(t) = 1 = t \cdot \left[ (\ln x)^* \right]’(t) \Rightarrow \left[ (\ln x)^* \right]’(t) = \frac{1}{t} \]
Et ainsi :
Cette démarche montre la puissance du cadre analytique offert par la formule de Kyungu, via sa transformée gamma et le théorème différentiel associé. Sans avoir recours aux distributions, elle permet une interprétation rigoureuse de la transformée de Laplace inverse de fonctions singulières comme \(\ln p\).
Ce résultat ouvre la voie à une analyse nouvelle et plus accessible de la transformation de Laplace inverse, même dans des cas où les séries classiques sont inapplicables.