Résumé
Cet article présente une formulation complète de la transformée de Laplace inverse à partir de la formule de Kyungu. Nous relions la version en série à une version intégrale locale autour de \( z = 0 \), puis nous montrons comment cette dernière conduit naturellement à l’intégrale de Bromwich par un changement de variable. Chaque étape est rigoureusement expliquée dans un cadre analytique et distributionnel.
1. Introduction
La transformée de Laplace inverse est traditionnellement définie par l’intégrale de Bromwich. Cependant, dans cet article, nous présentons une alternative basée sur une approche série originale découverte par l’auteur, appelée formule de Kyungu. Celle-ci permet de calculer la transformée inverse d’une fonction \( F(p) \) sans recourir aux résidus ni aux tables classiques, mais uniquement à partir des dérivées de la fonction \( \varphi(x) := F(1/x) \) en zéro.
2. Forme série de la formule de Kyungu
Soit \( F(p) \) une fonction suffisamment régulière. On définit :
\[ \varphi(x) := F\left( \frac{1}{x} \right) \]
Si \( \varphi \) est analytique en \( x = 0 \), on a la formule de Kyungu :
\[ \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \varphi(0) \cdot \delta(t) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi^{(n)}(0)}{(n!)^2} \cdot n \cdot t^{n-1} \]
Cette formule décompose l’image inverse en deux parties :
- Une partie singulière : \( \varphi(0) \cdot \delta(t) \), correspondant à la limite de \( F(p) \) quand \( p \to \infty \),
- Une partie régulière exprimée comme une série de puissances en \( t \).
3. Forme intégrale centrée en \( z = 0 \)
Par le théorème intégral de Cauchy, on a :
\[ \varphi^{(n)}(0) = n! \cdot \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma \frac{\varphi(z)}{z^{n+1}} \, dz \]
En injectant cela dans la formule en série, on obtient une forme intégrale locale :
\[ \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \varphi(0) \cdot \delta(t) + \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma \frac{\varphi(z)}{z^2} e^{t/z} \, dz \]
où \( \Gamma \) est un petit contour fermé autour de \( z = 0 \).
4. Changement de variable et passage au plan \( p \)
En posant \( z = 1/p \), on a :
\[ dz = -\frac{1}{p^2} dp, \quad \varphi(z) = F(p), \quad \frac{1}{z^2} = p^2, \quad e^{t/z} = e^{p t} \]
La forme intégrale devient alors :
\[ \mathcal{L}^{-1}[F](t) = F(\infty) \cdot \delta(t) - \frac{1}{2\pi i} \oint_{C_\infty} F(p) \cdot e^{p t} \, dp \]
où \( C_\infty \) est un grand contour fermé entourant l’infini dans le plan \( p \).
5. Lien avec l’intégrale de Bromwich
Si \( F \) est méromorphe avec une bande de convergence, le contour \( C_\infty \) peut être déformé en une ligne verticale \( \Re(p) = c \), pour \( c > \sigma_0 \), ce qui donne la formule classique de Bromwich :
\[ \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c - i\infty}^{c + i\infty} F(p) \cdot e^{p t} \, dp \]
On obtient ainsi une continuité logique entre :
- La série de Kyungu,
- La forme intégrale locale centrée sur \( z = 0 \),
- Et l’intégrale de Bromwich via un simple changement de variable.
6. Conclusion
La formule de Kyungu apporte une approche originale et rigoureuse de la transformée de Laplace inverse. Elle permet une interprétation intuitive des composantes régulières et impulsionnelles. Son lien naturel avec l’intégrale de Bromwich révèle la profondeur analytique de cette découverte. Cette formule constitue ainsi une voie nouvelle pour l'enseignement et le calcul de la transformation de Laplace.