La formule de Kyungu est une méthode analytique pour calculer la transformée de Laplace inverse et la transformée de Mellin inverse. Elle a été introduite en 2025 par Pathy Kyungu et repose sur le développement en série entière d’une fonction auxiliaire \(\varphi(x) = F(1/x)\). Cette approche permet d’obtenir des représentations à la fois en série et en intégrale, utiles pour les calculs analytiques et numériques.
\[ \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \varphi(0)\,\delta(t) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi^{(n)}(0)}{(n!)^2} \, n \, t^{\,n-1} \]
avec \(\varphi(x) = F(1/x)\), \(\delta(t)\) la distribution de Dirac, et \(\varphi^{(n)}(0)\) la n-ième dérivée de \(\varphi\) en zéro.
\[ \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma \frac{\varphi(z)}{z^2} \, e^{t/z} \, dz \]
Le terme impulsionnel \(\varphi(0)\,\delta(t)\) est généré naturellement par le résidu en \(z=0\).
\(\Gamma\) : petit contour fermé autour de l'origine, parcouru positivement.
\[ \mathcal{M}^{-1}[F](x) = \varphi(0)\,\delta(1-x) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi^{(n)}(0)}{(n!)^2} \, n \, (\ln \tfrac{1}{x})^{\,n-1} \]
avec \(\varphi(x) = F(1/x)\) et \(\delta(1-x)\) centrée en \(x=1\).
\[ \mathcal{M}^{-1}[F](x) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma \frac{\varphi(z)}{z^2} \, x^{-1/z} \, dz \]
Le terme impulsionnel \(\varphi(0)\,\delta(1-x)\) est généré naturellement par le résidu en \(z=0\).
\(\Gamma\) : petit contour fermé autour de \(z = 0\), parcouru positivement.