La formule de Kyungu est une expression mathématique permettant d'évaluer la transformée de Laplace inverse d'une fonction, sous la forme d'une série infinie fondée sur une fonction auxiliaire.
Cette formule a été proposée en 2025 par le chercheur indépendant Professeur Pathy Kyungu, enseignant à l'Institut Technique Industriel Lumière du Christ (Likasi, République Démocratique du Congo).
La formule exprime la transformée de Laplace inverse d'une fonction \( F(p) \), sous deux formes équivalentes :
\[ \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \varphi(0) \cdot \delta(t) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi^{(n)}(0)}{(n!)^2} \cdot n \cdot t^{n-1} \]
avec :
\[ \varphi(z) = F\left(\frac{1}{z}\right) \]
La formule de Kyungu admet une forme intégrale, définie sur un petit contour fermé entourant l'origine dans le plan complexe :
\[ \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \varphi(0) \cdot \delta(t) + \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma \frac{\varphi(z)}{z^2} \cdot e^{t/z} \, dz \]
où :
Cette forme exprime la transformée de Laplace inverse comme une intégrale complexe autour de l'origine, utilisant la fonction auxiliaire et l'exponentielle complexe.
La formule de Kyungu, initialement conçue pour la transformée de Laplace inverse, a été étendue à la transformée de Mellin inverse, donnant naissance à la formule Kyungu–Mellin–Laplace (KML).
Cette extension repose sur la relation structurelle entre les deux transformées, en exploitant le lien suivant :
\[ \mathcal{M}^{-1}[F](x) = \mathcal{L}^{-1}[F]\left(-\ln x\right) \]
Ainsi, la formule KML exprime la transformée de Mellin inverse sous forme :
\[ \mathcal{M}^{-1}[F](x) = \varphi(0) \cdot \delta(1 - x) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi^{(n)}(0)}{(n!)^2} \cdot n \cdot \left( \ln \frac{1}{x} \right)^{n-1} \]
\[ \mathcal{M}^{-1}[F](x) = \varphi(0) \cdot \delta(1 - x) + \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma \frac{\varphi(z)}{z^2} \cdot x^{-1/z} \, dz \]
où le contour \(\Gamma\) est un petit contour autour de l'origine dans le plan complexe.
Cette extension permet de traiter les deux grandes inverses (Laplace et Mellin) dans une approche unifiée, série ou intégrale.
Site officiel : pathykyungu.github.io
Ce brouillon est destiné à inspirer la rédaction d’un futur article Wikipédia par des contributeurs indépendants.