La formule de Kyungu permet d’obtenir la transformée de Laplace inverse d’une fonction \(F(p)\) sous forme d’une série infinie dépendant des dérivées d’une fonction auxiliaire \(\varphi\).
La transformée de Laplace inverse s’écrit :
\[ \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \varphi(0) \cdot \delta(t) + \sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi^{(n)}(0)}{(n!)^2} \cdot n \cdot t^{n-1} \]avec la fonction auxiliaire définie par :
\[ \varphi(z) = F\left(\frac{1}{z}\right). \]Pour notre fonction :
\[ F(p) = \frac{p^2}{p^3 - 1} \]On a :
\[ \varphi(z) = F\left(\frac{1}{z}\right) = \frac{z}{1 - z^3}. \]La fonction \(\varphi\) se développe en série de puissances :
\[ \varphi(z) = \sum_{k=0}^\infty z^{3k + 1}. \]Les dérivées \(\varphi^{(n)}(0)\) sont non nulles uniquement lorsque \(n = 3k + 1\), auquel cas :
\[ \varphi^{(3k+1)}(0) = (3k + 1)!. \]En remplaçant dans la formule, on obtient :
\[ \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k+1)!}{\big((3k+1)!\big)^2} (3k+1) t^{3k} = \sum_{k=0}^\infty \frac{3k+1}{(3k+1)!} t^{3k}. \]La simplification des coefficients donne :
\[ \frac{3k+1}{(3k+1)!} = \frac{1}{(3k)!}, \]et donc la série devient :
\[ \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^{3k}}{(3k)!}. \]Cette série correspond à la projection cyclique des termes multiples de 3 dans la série exponentielle, que l’on exprime via les racines cubiques de l’unité \(\omega = e^{2 \pi i / 3}\) :
\[ \sum_{k=0}^\infty \frac{t^{3k}}{(3k)!} = \frac{1}{3}\left(e^{t} + e^{\omega t} + e^{\omega^2 t}\right). \]En forme réelle, cela s’écrit :
\[ \boxed{ \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \frac{1}{3} \left( e^{t} + 2 e^{-\frac{t}{2}} \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2} t \right) \right). } \]Article rédigé à partir des travaux du Professeur Pathy Kyungu et de l’application directe de sa formule pour la transformée de Laplace inverse.