1. Introduction
La transformée de Laplace inverse est essentielle en analyse des systèmes dynamiques, en équations différentielles et en traitement du signal.
La formule de Kyungu propose une méthode nouvelle et directe pour retrouver une fonction temporelle \( f(t) \) à partir de sa transformée de Laplace \( F(p) \), sans utiliser ni résidus ni tables classiques.
2. Présentation de la formule de Kyungu
Soit \( F(p) \) une fonction de Laplace. On définit une fonction auxiliaire :
\[
\varphi(x) = F\left(\frac{1}{x}\right)
\]
Alors la transformée de Laplace inverse est donnée par la série :
\[
f(t) = \varphi(0)\cdot \delta(t) + \sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi^{(n)}(0)}{(n!)^2} \cdot n \cdot t^{n-1}
\]
- \( \delta(t) \) : distribution de Dirac (composante impulsionnelle).
- \( \varphi^{(n)}(0) \) : dérivées successives de la fonction auxiliaire au point zéro.
3. Exemple 1 : \( F(p) = \dfrac{1}{p^2} \)
On a :
\[
\varphi(x) = x^2
\]
La seule dérivée non nulle est :
\[
\varphi''(0) = 2
\]
La formule donne alors :
\[
f(t) = \frac{2}{(2!)^2} \cdot 2 \cdot t^1 = t
\]
Ce résultat correspond à la transformée de Laplace inverse connue de \( F(p) = \frac{1}{p^2} \).
4. Exemple 2 : \( F(p) = \dfrac{1}{1 + p^3} \)
Application de la formule
On pose :
\[
\varphi(x) = \frac{x^3}{x^3 + 1}
\]
Développement en série :
\[
\varphi(x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \cdot x^{3k}
\]
Les dérivées au point zéro sont :
\[
\varphi^{(3k)}(0) = (-1)^{k+1} \cdot (3k)!
\]
La série devient :
\[
f(t) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1} \cdot 3k}{(3k)!} \cdot t^{3k - 1}
\]
Retrouver la forme fermée à partir de la série (remplacement de ω)
Partons de la série issue de la formule de Kyungu :
$$
f(t) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{3k}{(3k)!} t^{3k - 1}
$$
En posant :
$$
t = -z, \quad z > 0,
$$
on obtient :
$$
f(-z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{3k}{(3k)!} z^{3k - 1}.
$$
1. Intégration de la série
Intégration terme à terme :
$$
F(z) = \int_0^z f(-u) \, du = \sum_{k=1}^\infty \frac{z^{3k}}{(3k)!}.
$$
Cette série s’exprime sous forme exponentielle complexe :
$$
F(z) = \frac{1}{3} \left( e^{z} + e^{\omega z} + e^{\omega^2 z} - 1 \right),
$$
où :
$$
\omega = e^{2 i \pi/3} = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \omega^2 = e^{4 i \pi/3} = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}.
$$
2. Dérivation : retrouver \( f(-z) \)
En dérivant :
$$
f(-z) = F'(z) = \frac{1}{3} \left( e^{z} + \omega e^{\omega z} + \omega^2 e^{\omega^2 z} \right).
$$
3. Développement des exponentielles complexes
$$
e^{\omega z} = e^{-\frac{z}{2}} \left( \cos\left( \frac{\sqrt{3}}{2} z \right) + i \sin\left( \frac{\sqrt{3}}{2} z \right) \right),
$$
$$
e^{\omega^2 z} = e^{-\frac{z}{2}} \left( \cos\left( \frac{\sqrt{3}}{2} z \right) - i \sin\left( \frac{\sqrt{3}}{2} z \right) \right).
$$
On calcule :
$$
\omega e^{\omega z} + \omega^2 e^{\omega^2 z} = e^{-\frac{z}{2}} \left( - \cos\left( \frac{\sqrt{3}}{2} z \right) - \sqrt{3} \sin\left( \frac{\sqrt{3}}{2} z \right) \right).
$$
4. Expression finale de \( f(-z) \)
$$
f(-z) = \frac{1}{3} \left( e^{z} - e^{-\frac{z}{2}} \left( \cos\left( \frac{\sqrt{3}}{2} z \right) + \sqrt{3} \sin\left( \frac{\sqrt{3}}{2} z \right) \right) \right).
$$
5. Retour à \( t \) et simplification trigonométrique
En remplaçant \( z = -t \), et en utilisant :
$$
- \cos(x) + \sqrt{3} \sin(x) = -2 \cos\left( x + \frac{\pi}{3} \right),
$$
on obtient :
$$
f(t) = \frac{1}{3} e^{-t} - \frac{2}{3} e^{t/2} \cdot \cos\left( \frac{\sqrt{3}}{2} t + \frac{\pi}{3} \right).
$$
Formule fermée finale :
$$
\boxed{
\mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{1 + p^{3}} \right)(t) = \frac{1}{3} e^{-t} - \frac{2}{3} e^{\frac{t}{2}} \cdot \cos\left( \frac{\sqrt{3}}{2} t + \frac{\pi}{3} \right)
}
$$
La série obtenue par la formule de Kyungu converge donc vers cette solution exacte, non répertoriée dans les tables classiques.
5. Conclusion
La formule de Kyungu constitue une méthode alternative, efficace et pédagogique pour calculer la transformée de Laplace inverse :
- Utilisation des dérivées successives de \( F(1/x) \)
- Pas de résidus ni d'intégrales complexes
- Capacité à révéler des formes fermées absentes des tables
Voir aussi
- Transformée de Laplace inverse
- Formule Kyungu–Mellin–Laplace (KML)
- Séries de Taylor appliquées aux transformations intégrales
Références
Dernière mise à jour : juillet 2025 • rédigé par Pathy Kyungu